Distribuzione paretiana

In teoria delle probabilità la distribuzione paretiana (o distribuzione di Pareto, così chiamata in onore di Vilfredo Pareto) è una distribuzione di probabilità continua, utilizzata in particolar modo per descrivere la distribuzione dei redditi.

Metodologia

La funzione di densità di probabilità associata alla distribuzione paretiana è:

${\displaystyle \ f(x)={\frac {\alpha \beta ^{\alpha }}{x^{\alpha 1}}}}$

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\dfrac {\alpha \beta ^{\alpha }}{x^{\alpha 1}}}&{\text{per }}x\geq \beta \\0&{\text{per }}x<\beta \end{cases}}}$

La distribuzione paretiana è caratterizzata da due parametri: uno di posizione ${\displaystyle \beta }$ positivo, che è il valore minimo che può assumere ${\displaystyle X}$, e un parametro di forma ${\displaystyle \alpha }$, anch'esso positivo, che viene spesso indicato come "indice coda".

La variabile casuale paretiana è spesso utilizzata per modellizzare la distribuzione del reddito; in tal caso, ${\displaystyle \beta }$ viene interpretato come reddito minimo.

Integrando la funzione densità tra ${\displaystyle \beta }$ e ${\displaystyle x\in (\beta ; \infty )}$ si ottiene la funzione di distribuzione:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}F_{X}(x)=\alpha \beta ^{\alpha }\int _{\beta }^{ \infty }\xi ^{-(\alpha )}d\xi &=\alpha \beta ^{\alpha }\cdot -{\frac {1}{\alpha }}\xi ^{-\alpha }{\bigg |}_{\beta }^{ \infty }=-\beta ^{\alpha }\cdot {\dfrac {1}{\xi ^{\alpha }}}{\bigg \vert }_{\beta }^{x}\\[2ex]&=-\beta ^{\alpha }\left({\dfrac {1}{x^{\alpha }}}-{\dfrac {1}{\beta ^{\alpha }}}\right)=1-\left({\dfrac {\beta }{x}}\right)^{\alpha }\end{alignedat}}}$

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-{\bigg (}{\dfrac {\beta }{x}}{\bigg )}^{\alpha }&{\text{per }}x\geq \beta \\0&{\text{per }}x<\beta \end{cases}}}$

I suoi principali parametri sono:

Momenti ordinari

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}&=\displaystyle \int _{\beta }^{ \infty }x{\dfrac {\alpha \beta ^{\alpha }}{x^{\alpha 1}}}\,dx=\alpha \beta ^{\alpha }\displaystyle \int _{\beta }^{ \infty }x^{-\alpha }\,dx=\alpha \beta ^{\alpha }\cdot {\dfrac {x^{1-\alpha }}{1-\alpha }}{\bigg \vert }_{\beta }^{ \infty }\\[2ex]&={\dfrac {\alpha \beta ^{\alpha }}{1-\alpha }}\cdot {\dfrac {1}{x^{\alpha -1}}}{\bigg \vert }_{\beta }^{ \infty }={\dfrac {\alpha \beta ^{\alpha }}{1-\alpha }}\left(0-{\dfrac {1}{\beta ^{\alpha -1}}}\right)={\dfrac {\alpha \beta }{\alpha -1}}\\\end{aligned}}}$

Da cui si ottiene:

${\displaystyle \mu _{1}={\begin{cases}{\dfrac {\alpha \beta }{\alpha -1}}&{\text{per }}\alpha >1\\\infty &{\text{per }}\alpha \geq 1\end{cases}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{2}&=\alpha \beta ^{\alpha }\int _{\beta }^{ \infty }{\dfrac {x^{2}}{x^{\alpha 1}}}\,dx=\alpha \beta ^{\alpha }\int _{\beta }^{ \infty }x^{1-\alpha }\,dx=\alpha \beta ^{\alpha }\cdot {\dfrac {1}{2-\alpha }}x^{2-\alpha }{\bigg \vert }_{\beta }^{ \infty }\\[2ex]&=\alpha \beta ^{\alpha }\cdot {\dfrac {1}{2-\alpha }}{\dfrac {1}{x^{\alpha -2}}}{\bigg \vert }_{\beta }^{ \infty }=\alpha \beta ^{\alpha }\cdot {\dfrac {1}{2-\alpha }}\left(0-{\dfrac {1}{\beta ^{\alpha -2}}}\right)\\[2ex]&=-{\dfrac {\alpha \beta ^{\alpha }}{2-\alpha }}\cdot {\dfrac {1}{\beta ^{\alpha -2}}}={\dfrac {\alpha \beta ^{2}}{\alpha -2}}\end{aligned}}}$

Da cui si ricava:

${\displaystyle \mu _{2}={\begin{cases}{\dfrac {\alpha \beta ^{2}}{\alpha -2}}&{\text{per }}\alpha >2\\\infty &{\text{per }}\alpha \geq 2\end{cases}}}$

In generale un momento di ordine ${\displaystyle n}$ è definito come:

${\displaystyle \mu _{n}={\begin{cases}{\dfrac {\alpha \beta ^{n}}{x-n}}&{\text{per }}0$

Funzione generatrice dei momenti

${\displaystyle M(\theta )=E[e^{\theta x}]=\alpha (-\beta \theta )^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-\beta \theta )}$

dove ${\displaystyle \Gamma (-\alpha ,-\beta \theta )}$ è una funzione gamma incompleta.

La funzione generatrice di momenti è definita solo per valori non positivi di ${\displaystyle \theta }$.

Varianza

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{2}&=\mu _{2}-\mu _{1}^{2}={\dfrac {\alpha \beta ^{2}}{\alpha -2}}-\left({\dfrac {\alpha \beta }{\alpha -1}}\right)^{2}={\dfrac {\alpha \beta ^{2}}{\alpha -2}}-{\dfrac {\alpha ^{2}\beta ^{2}}{(\alpha -1)^{2}}}\\[2ex]&={\dfrac {\alpha \beta ^{2}(\alpha -1)^{2}-\alpha ^{2}\beta ^{2}(\alpha -2)}{(\alpha -2)(\alpha -1)^{2}}}\\[2ex]&={\dfrac {\alpha ^{3}\beta ^{2} \alpha \beta ^{2}-2\alpha ^{2}\beta ^{2}-\alpha ^{3}\beta ^{2} 2\alpha ^{2}\beta ^{2}}{(\alpha -2)(\alpha -1)^{2}}}\\[2ex]&={\dfrac {\alpha \beta ^{2}}{(\alpha -2)(\alpha -1)^{2}}}\end{aligned}}}$

Da cui ricaviamo:

${\displaystyle \sigma ^{2}={\begin{cases}{\dfrac {\alpha \beta ^{2}}{(\alpha -2)(\alpha -1)^{2}}}&{\text{per }}\alpha >2\\\infty &{\text{per }}\alpha \in (1;2]\end{cases}}}$

Si noti che per ${\displaystyle \alpha \leq 1}$ la varianza non esiste.

Mediana

${\displaystyle 1-{\bigg (}{\frac {\beta }{\xi _{0.5}}}{\bigg )}^{\alpha }={\frac {1}{2}}\rightarrow {\bigg (}{\frac {\beta }{\xi _{0.5}}}{\bigg )}^{\alpha }={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle \xi _{0.5}={\sqrt[{\alpha }]{2}}\beta }$

Simmetria

${\displaystyle \beta _{1}={\frac {4(\alpha -2)(\alpha 1)^{2}}{\alpha (\alpha -3)^{2}}}}$ per ${\displaystyle \alpha >3}$

Curtosi

${\displaystyle \beta _{2}={\frac {3(\alpha -2)(3\alpha ^{2} \alpha 2)}{\alpha (\alpha -3)(\alpha -4)}}}$ per ${\displaystyle \alpha >4}$

Caratteristiche

La variabile casuale paretiana ha elasticità costante (negativa):

ε(x) = df / f / dx / x = -(α 1)

che può essere interpretato nel senso che, qualunque sia il reddito x₀

se

per il reddito x₀ abbiamo y₀ persone che lo guadagnano

allora

per il reddito x₀ 1% ci saranno y₀-(α 1)% persone

Note

Voci correlate

• Effetto Lindy
• Variabile casuale di Dagum
• Diagramma di Pareto
• Legge di potenza
• Legge di Zipf
• Variabile casuale logonormale, anch'essa usata per descrivere distribuzioni di redditi
• Vilfredo Pareto
• Principio di Pareto

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Pareto Distribution, su MathWorld, Wolfram Research.